選擇數學延伸論文 (EE) 的課題可能讓人感到畏縮 —— 但這也是 IB 文憑課程中最具成就感的部分之一。您將花費多達 4,000 字來探索一個您真正關心的問題，展示您的數學思維、研究技能和獨立性。
本指南將幫助您：
– 了解數學 EE 是什麼
– 選擇一個強大且專注的課題
– 有效地構建您的論文結構
– 避開常見陷阱
– 從涵蓋關鍵數學領域的獨特研究問題中獲得啟發
什麼是數學 EE？
| 特點 | 細節 |
| 字數 | 高達 4,000 字（不包括方程、表格、圖表和附錄） |
| 結構 | 摘要（可選）、前言、主體、結語、參考文獻 |
| 評核 | 由外部評分，總分為 34 分，等級為 A–E |
| 核心焦點 | 以研究為基礎，強調數學推理和建模 |
| 學科選擇 | 任何 IB 學科，但建議選擇高級水平 (HL) 學科 |
| 學術誠信 | 所有來源必須註明出處以避免剽竊 |
根據 IB 官方數學 EE 指南，學生被預期要麼將知識擴展到 DP 大綱之外，要麼應用已知技術對現實世界或抽象問題進行建模。
如何選擇一個致勝的數學 EE 課題
– 結合您的強項
– 縮小研究範圍
– 確保可行性
– 追求數學深度
– 保持好奇心
按領域劃分的獨特 IB 數學 EE 研究問題
純粹數學 (Pure Mathematics)
- 連分數能在多大程度上用於逼近 π 和 e 等無理數，它們的收斂速度如何對比？
- 群論 (Group theory) 如何應用於解決魔方等對稱謎題？關於置換群和移動最優性的研究。
- 同餘運算在現代密碼學中扮演什麼角色？對 RSA 密鑰生成中同餘關係的專注研究。
- 如何利用線性代數和特徵值推導並推廣費波那契數列及相關遞推關係？
- 與 Miller–Rabin 等概率測試相比，費馬小定理在質數測試中的有效性如何？
- 不同的無限概念在 ℕ, ℤ, ℚ, ℝ 和超窮基數中如何體現，這對可數性有何影響？
- 幻方 (Magic squares) 和拉丁方陣 (Latin squares) 背後的組合與代數結構是什麼？
統計與概率 (Statistics and Probability)
- 海洋溫度異常與特定自然災害頻率之間是否存在可衡量的統計相關性？一種時間序列方法。
- 與 Glicko 或 TrueSkill 相比，Elo 等級分系統在預測國際象棋結果方面的有效性如何？
- 在不同的彩票格式下獲勝的概率是多少，期望值和方差如何引導理性博弈？
微積分與數學建模 (Calculus and Mathematical Modelling)
- 微分方程如何模擬流行病的傳播，SIR 變體（SEIR, SIRS）如何改變預測準確度？
- 基於微積分的優化能在多大程度上用於設計兼顧安全（重力限制）與刺激（加加速度/曲率）的過山車元素？
- 邏輯模型和捕食者 – 獵物模型能否在保護限制下預測瀕危物種的種群增長？
- 矩陣和偏導數在訓練神經網絡中是如何運用的？
財務數學 (Mathematical Finance)
- Black–Scholes 模型如何用於歐式看漲期權定價，它在真實市場中的哪些地方會失效？
- 在各種回報分佈下，定期定額投資 (Dollar-cost averaging) 相對於單筆投入投資的數學優勢是什麼？
- 在長期視角下，複利如何優於單利？跨利率與時間的敏感性分析。
博弈論與決策 (Game Theory and Decision Making)
- 納殊均衡 (Nash equilibrium) 如何應用於分析第一價格 vs 第二價格拍賣中的投標策略？
- 利用概率和期望值，在簡化的撲克變體中的最佳策略是什麼？
- 「囚徒困境」如何模擬現實世界的商業決策，重複博弈如何改變結果？
幾何與拓撲 (Geometry and Topology)
- 拓撲學在理解莫比烏斯帶和克萊因瓶方面扮演什麼角色，定向和邊界如何影響性質？
- 分形幾何 (Fractal geometry) 如何模擬海岸線等自然現象？關於分形維度和縮放的研究。
- 極小曲面 (Minimal surfaces) 與肥皂膜、普拉托問題 (Plateau’s problem) 及優化有何關係？
如何構建您的數學 EE 結構
1. 摘要 (Abstract)（可選，約 300 字）
- 總結研究問題、方法和主要結論。
- 這部分最後再寫。
2. 前言 (Introduction)
- 清晰且具體地陳述您的研究問題。
- 解釋為什麼它具有重要意義 —— 無論是在數學領域還是現實世界（如相關）。
- 概述研究範圍以及您將涵蓋與不涵蓋的內容。
- 簡要預覽您的研究方法（證明、建模、模擬、對比分析）。
3. 主體 (Main Body)
- a) 數學基礎：定義您將使用的關鍵術語、定理和符號。僅提供分析所需的背景；引用原始來源（教科書、論文）。
- b) 方法論：描述您的研究方法：推導、證明策略、模型設計、模擬或統計測試。包括圖表、曲線圖、表格或代碼輸出（附帶解釋）。如果使用軟件（Python, GeoGebra, Excel, R），請解釋參數並說明選擇理由。
- c) 分析與討論：清晰地、循序漸進地呈現結果。解讀發現：準確性、局限性、敏感性、潛在錯誤來源。在適當情況下對比替代方法或模型。
4. 結語 (Conclusion)
- 直接回答研究問題。
- 反思工作的意義與局限性。
- 提出切實可行的進一步研究方向。
5. 參考文獻 (References/Bibliography)
- 使用一致的引用風格（APA, MLA, Chicago）。
- 包括教科書、學術文章、信譽良好的網站及任何訪談。
- 對於軟件或數據集，請註明版本和訪問日期。
撰寫成功數學 EE 的提示
| 提示 | 為什麼這很重要 |
| 及早開始 | 給您留出探索、精煉和迭代的時間。 |
| 專注於原創思維 | 在新的語境中應用已知數學，對比方法，或擴展課堂觀點。 |
| 使用圖表和視覺效果 | 標註良好的圖表、表格和曲線圖能使數學論證更清晰。 |
| 諮詢您的導師 | 定期的溝通能確保您與評分標準保持一致，並幫助設定現實的範圍與里程碑。 |
| 避免剽竊 | 深思熟慮地改寫，註明觀點來源，並引用所有參考文獻。 |
| 管理複雜度 | 由淺入深地構建論證。清晰陳述假設並保持符號一致。 |
| 驗證您的結果 | 證明題：確保每一步都符合邏輯並陳述所用定理。建模題：測試參數敏感性並盡可能與經驗數據對比。統計題：說明所用測試的合理性，檢查條件（如獨立性、常態性），並報告不確定性。 |
總結：強 vs. 弱的數學 EE 課題
| 強大的課題 | 薄弱的課題 |
| 涉及高階或擴展的數學觀點 | 依賴基礎或描述性的數學 |
| 研究問題範圍狹窄、專注 | 範圍過於寬泛或模糊 |
| 展現原創性和個人參與度 | 缺乏深度或個人見解 |
| 使用多個可信來源 | 依賴單一或不可靠來源 |
| 應用或擴展已知數學 | 僅僅總結教科書內容 |
All Round 卓越學習之道
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